Первый тренер: Павел Михайлович Хасеневич.

Первая футбольная школа: СДЮШОР по футболу и бейсболу ФК «Минск».

За главную команду «Минска» хавбек дебютировал 19 апреля 2011 года (главный тренер – Виталий Тараканов) в выездном матче 5-го тура Высшей лиги против «Шахтера» (0:1), выйдя на замену на 90+1-й минуте. В том сезоне Сергей несколько раз попадал в заявку «Минска», но на поле появился ещё один раз в игре против «Белшины» (2:2).

В 2013 году стал обладателем Кубка Беларуси. В финале «Минск» в серии пенальти переиграл столичное «Динамо» (1:1, пенальти 4-3). Пушняков отыграл 90 минут, но в начале дополнительного времени был заменён и покинул поле.

Цвета столичной команды Пушняков защищал до 2016 года. В общей сложности в этот период провёл за «Минск» 80 матчей (71 в чемпионате и 9 в кубке), в которых записал на свой счет 7 голов (4 в БВЛ, 3 в КБ). Свой первый мяч в первом дивизионе Сергей забил 6 июня 2014 года в ворота бобруйской «Белшины» (3:0).

Два следующих сезона провёл в Латвии, где под руководством соотечественника Олега Кубарева в составе юрмальского клуба дважды становился чемпионом страны. За это время за «Спартак» во всех турнирах сыграл 54 официальных матча.

После двух легионерских сезонов Пушняков вернулся в Беларусь и в январе 2018 года заключил контракт с «Городеей», в которой выступал до июня 2021-го года. За команду из Несвижского района Сергей в общей сложности сыграл 75 официальных матчей (БВЛ и КБ), в которых отличился 9 раз.

В июне 2021-го года полузащитник вновь отправился за границу и пополнил ряды индонезийского «Персикабо 1973», которым тогда руководил Игорь Криушенко. За команду из Юго-Восточной Азии Сергей до конца апреля 2022 года сыграл 30 матчей в Лиге 1, в которых забил 2 мяча.

Летом 2022 года вернулся в родной «Минск», где до конца сезона провёл 15 матчей и забил 1 гол.

Следующие два сезона провёл в «Слуцке», где был капитаном команды. В общей сложности за данный период принял участие в 60 матчах во всех турнирах, в которых записал на свой счет 12 голов.

Статистика БВЛ-2024: 28 матчей (все с капитанской повязкой), 2490 минут, 5+4, 3 предупреждения. Отметим, что в минувшем сезоне полузащитник стал вторым в списке самых результативных игроков клуба, отдав на один голевой пас меньше Кирилла Цепенкова.

В январе 2025 года подписал годичный контракт с гродненским «Неман».