Первый тренер: 

Воспитанник футбольной школы: ФК «Отрадный» / ФК «Динамо» Киев

Клубная карьера игрока: «Отрадный» Киев, Украина (2007), «Динамо» Киев, Украина (2007-2010), «Металлург» Донецк, Украина (2010-2013), «Заря» Луганск, Украина (2013-2015), «Торпедо-БелАЗ» Жодино (2016), «Олимпик» Донецк, Украина (2016), «Витебск» (2017), «Неман» Гродно (2018), «Сабах» Баку, Азербайджан (2018).

Виталий Квашук родился в Киеве, где позже начал свою карьеру в футбольных школах клубов «Отрадный» и «Динамо», но в 2010 году перешёл в донецкий «Металлург». В украинской Премьер-Лиге дебютировал 1 декабря 2012 года в мачте против днепропетровского «Днепра». Этот матч стал единственным за основу «Металлурга», после чего Виталий в 2013 году перебрался в луганскую «Зарю», за которую также провел всего один поединок — в Кубке Украины в сезоне 2014/15.

После этого игрок переехал в Беларусь. Сезон 2016 года полузащитник начал в составе жодинского «Торпедо-БелАЗ», в составе которого стал обладателем Кубка Беларуси и сыграл 12 матчей в чемпионате страны (1+1 по системе «гол+пас»).

В июле 2016 года Квашук поставил подпись под 2-летним контрактом с донецким «Олимпиком», однако так и не дебютировал в новой команде — на его счету лишь 2 поединка за молодёжный состав донетчан.

В феврале 2017 года вингер присоединился к «Витебску», где и провёл минувший сезон, который стал для игрока пока самым успешным в карьере. В 28 матчах чемпионата Виталий забил 5 мячей и трижды ассистировал партнерам по команде, став самым результативным игроком «Витебска».

Контракт с гродненским клубом подписал 16 февраля 2018 года и отыграл за жёлто-зелёных пол сезона. Дебютировал в составе гродненского клуба 30 марта в Гродно в матче чемпионата против «Витебска» (90 минут, 0+1). В июне футболистом заинтересовался бакинский «Сабах», переговоры с которым  о трансфере игрока завершились в начале июля. За жёлто-зелёных Виталий сыграл 14 официальных матчей: 14 в чемпионате (825 минут, 1+2) и 2 в кубке (164 минуты).