Первый тренер: Владимир Павлович Семериков

Воспитанник футбольной школы: ДЮСШ «Белкард» г. Гродно

Воспитанник гродненского футбола впервые сыграл за дубль «Немана» в сезоне 2012 года. В составе главной команды дебютировал 21 марта 2015 года (тренер – Сергей Солодовников) в гостевом матче 1/4 Кубка Беларуси против борисовского БАТЭ, в котором желто-зеленые проиграли 0:1. Молодой защитник неожиданно появился на поле с первых минут встречи и провёл весь матч.

В сильнейшем дивизионе Беларуси дебютировал 18 апреля 2015 года (тренер – Сергей Солодовников). В матче 2-го тура жёлто-зелёные сыграли в Гомеле вничью 0:0. Лешко вышел в стартовом составе гостей и отыграл весь матч.

В августе 2017 был отдан в аренду в «Лиду», которая выступала в Первой Лиге (Д2). После окончания сезона вернулся в Гродно и подписал новый контракт с «Неманом» сроком на один год.

С 2012 по 2020 год за дубль клуба провёл 80 матчей (5 603 минуты), в которых 8 раз ассистировал своим партнёрам.

В составе главной команды гродненского клуба выступает с 2015 года. Его наигрыш за жёлто-зелёных на конец сезона 2019 года составляет 60 официальных матчей - 54 игры в чемпионате (3 987 минут, 0+2) и 6 в кубке (410 минут).

В чемпионате-2019 защитник провел за первую команду 15 матчей, 13 из которых начинал в стартовом составе (1183 минуты; 0+1). В матче 13-го тура против столичного «Торпедо» Евгений сначала заработал пенальти, который реализовал Валерий Жуковский, а потом ассистировал Глебу Рассадкину. 

В сезоне-2020 Лешко отлучался на службу в Армии, поэтому за первую команду в чемпионате сыграл всего 13 матчей, 8 из которых начинал в стартовом составе (776 минут; 0+1). В январе 2021 продлил контракт до конца года.